iPhone/iPad利用している際に「Apple IDサーバーへの接続中にエラーが起きました」とエラーメッセージが表示され主にアプリのダウンロードの際に発生したりApp Storeへのサインインができない状態になる問題について対処法を解説しております。

Apple IDアカウントに対しては様々なエラー表示が存在します。
その中でも代表的なものだけをご紹介しておきます。

「Apple IDがロックされています」
「Apple IDサーバへの接続時にエラーが起きました」
「不明なエラーが起きました」
「Apple IDサインインが要求されました」
「セキュリティ上の理由によりApple IDがロックされています」などが挙げられます。

これらのエラーメッセージに対して対処法を行なっていただく必要がありますが、今回の記事では「Apple IDサーバへの接続時にエラーが起きました」と「不明なエラーが起きました」に対しての対処法を記載しております。

Apple IDサーバーへの接続中にエラーが起きました対処法

Appleシステム状況の確認
Appleのサーバーシステムでエラーが発生している場合はシステム改善するまで待つしかありません。Appleシステム状況：https://www.apple.com/jp/support/systemstatus/
デバイスの再起動を行ってみて下さい。
デバイスの日付と時刻の設定を確認して下さい。
稀にですがユーザーの中には日本時間になっていないケースもありますのでiPhoneの設定から一般へ進み「日付と時刻」を確認してみて下さい。
デバイスがネットワークに繋がっているか確認する。またネットワーク環境が安定しているのか確認して下さい。WiFi接続で操作している場合はモバイル通信で操作など行ってみて下さい。

万が一WiFi環境下で問題が発生していた場合は別の問題となりますので下記の記事を参考。
参考記事：iPhoneでWiFiに繋がらない場合や速度が遅い場合の改善方法とは？
デバイスのiOSのバージョンが最新であるか確認して下さい。最新でない場合は最新バージョンへアップデートして下さい。iPhoneの設定から一般へ進みソフトウェアアップデートを選択してアップデートを行なって下さい。
Appleのシステム状況にエラーが生じていない場合、Apple IDのサインアウト/サインインを行ってみて下さい。注意：デバイスのバックアップが取れている事を確認して下さい。